计算机原理-浮点数存储

1、精度丢失

作为程序员大家应该都遇到过下面这种情况,用浮点数做运算,发现结果与预期有偏差,比如下面的JAVA代码

public static void main( String[] args )
    {
    	 int i = 3;
    	 float j = 0.9f;
    	 System.out.println("3乘以0.9的结果是:" + i*j);
    }

用一个整数3乘以浮点数0.9,期望结果是2.7,实际结果却是

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与2.7相差0.0000002,这道连小学生都不会算错的题目,为什么计算机会算错?真正的原因要从计算机保存浮点数的底层原理说起。

2、计算机如何保存浮点数

2.1、二进制小数

在计算机中数字使用二进制方式存储,所以理解浮点数的第一步是理解如何用二进制表示小数。

首先,对于我们比较了解的十进制,可以使用下面的公式表示:

dmdm-1···d1d0.d-1d-2···d-n

d的取值范围是0-9的任意数字。 m则从左向右依次递减,在小数点左边m=0,小数点右边m=-1。

在小数点左边的数字,取10的m次正幂,得到整数。小数点右边则取10的m次负幂,得到小数。例如12.34 表示数字

同样的,二进制小数也可以用类似方式表示,b的取值范围变成了0-1,小数点左边计算2的m次正幂,右边计算2的m次负幂。例如101.11 表示数字

但是这种表示方法并不完美,存在两个缺陷。

1) 无法准确的表示所有数字。

例如十进制小数0.20,我们无法通过二进制小数来准确表示,只能不断增加二进制长度来提高精度。

二进制 十进制
0.0 0.0
0.01 0.25
0.0011 0.1875
0.001101 0.203125
0.00110011 0.19921875

从上图可以看到,数字的值在不断的接近0.20,但是始终存在偏差。

2) 无法有效表示非常大的数字。

例如表达式 5×2^100 是二进制101后面跟了100个0,如果用上面的方式表示非常浪费空间。

因此,人们需要一种更加简洁的方式来表示浮点数。1985年,Intel公司赞助美国加州大学的William Kahan教授,设计了一套处理器浮点数标准,这个标准最终被IEEE(电气和电子工程师协会)借鉴,制定出IEEE浮点标准。目前,所有的计算机都支持这个标准。

2.2、IEEE 浮点标准

根据IEEE 浮点标准,任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式:

V = (-1)^s × 2M × 3^E

  1. 符号(sign) s表示符号位,当s=0,V为正数;当s=1,V为负数。
  2. 尾数(significand) M是一个二进制小数,1≤M<2。
  3. 阶码(exponent) E的作用是对浮点数加权,这个权重是2的E次幂(可能是负数)

比如十进制的11.0,写成二进制就是1011.0,用IEEE标准表示就是(-1)^0 × 1.011 × 2^3 ,s=0,M=1.011,E=3。

那么,计算机是如何存储s,M,E这三个值呢?如果是一个单精度(32位)浮点数,计算机会在内存中开辟一个32位的存储空间,最高1位保存s,中间8位保存E,最后23位保存M。

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如果是一个双精度(64位)浮点数,则开辟64位的存储空间,最高1位保存s,中间11位保存E,最后52位保存M。

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对于符号s,存储值非0即1。

对于尾数M,只保存后面的小数部分。这是由于1≤M<2,在计算机内部保存M时,默认这个数的第一位总是1,因此可以被舍去,这样做的好处是可以节省一位有效数字。

而对于阶码E,情况较为复杂。

首先,E要通过中间值换算得到真实值。这是由于E要能够表示负数,也就是负次幂。而E本身是无符号的,因此IEEE浮点标准规定,在计算真实值时,E要减去一个中间值。单精度情况下,E减去127,双精度情况下,E减去1023。

以二进制数1011.0为例,E的真实值是3,但是存储在计算机中是3+127=130(单精度),换算成二进制就是10000010。

另外,当E的值不同时,对最终结果计算方法也不一样,一共有下面三种情况。

1) 当E不全为0,也不全为1时。  表示规格化形式的数字。此时E减去中间值得到真实值,M的整数部分取1。

2) 当E全为0时。  表示非规格化形式的数字,主要是0或者非常接近于0的数。此时E减去中间值得到真实值,M的整数部分取0。

3) 当E全为1时。  表示特殊值。如果M全为0,表示±无穷大(正负取决于符号s),如果M不全为0,表示这不是一个数(NaN)。  

3、精度丢失的原因

了解了原理,现在我们可以开始分析精度丢失的原因,下面我们来模拟计算机的运算过程。

  • 第一步,将十进制结果转换成二进制。文章开头的例子中,十进制结果是2.7,由于2.7无法用二进制精确表示,因此出现第一次精度丢失。

2.7 => 10.10110011001…

  • 第二步,用IEEE标准表示二进制浮点数,得到s=0,M=1.010110011001…,E=1。

10.1011001… => (-1)^0 × 1.01011001… × 2^1

  • 第三步,按照IEEE标准保存数据。此时是单精度浮点数,M只能保存小数点后23位,多余的部分被丢弃了,因此出现第二次精度丢失。下面是计算机中实际保存的结果。
1位 8位 23位 丢弃
0 10000000 01011001100110011001100 11001…
  • 第四步,从内存中取出二进制数值,还原成十进制后显示在屏幕上。由于前面已经经历了两次精度丢失,因此还原出来的结果也就不正确了。

4、如何避免精度丢失

  • 使用整数替代浮点数。二进制整数可以完整的表示所有十进制整数,不存在精度丢失问题,因此我们可以将小数位数固定或者较少的数字转换成整数存储。比如存储货币金额,如果存储单位是元,则需要保留两位小数,例如23.45元。如果将单位改成分,则可以完全使用整数存储,例如2345分。

  • 使用特殊类处理高精度运算。例如JAVA中的Bigdecimal类。不过要注意,使用这些特殊类虽然可以解决精度问题,但有可能带来其它问题,JAVA中的Bigdecimal类在处理性能上就比float和double要低很多。

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